Post by D Esteban (ITI Mec)Buenas noches,
estoy estudiando ing.tec.mecánica por la uned (creo que se nota, por el
nombre )
Este cuatrimestre estoy con Mecánica
Estoy buscando por internet información acerca de las Polares Fija y
Móvil de un movimiento plano, pero , a pesar de que hay mucha
información, no consigo ver un ejemplo "ilustrativo". me he pateado
google arriba y abajo.
El libro que tengo no ayuda mucho que digamos .
Para según que cosas hay una página
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm que me ha sido de utilidad
en ver "gráficamente" algún concepto que no entendía.
Ando buscando algo en esa línea, donde tenga algun applet para
"manipular" y ver un poco interactivo el proceso.
Y si no, alguna información que empiece desde algo más abajo que lo que
he encontrado, donde te guie un poco con ejemplos gráficos...
Bueno, si te vale, te puedo dar yo un par de ejemplos...
Hace tres o cuatro años que no me toca explicar la base y la ruleta en
clase, así que espero no equivocarme.
Empecemos por el principio:
1) Centro Instantáneo de Rotación (CIR)
En dos dimensiones. Sea un sistema de referencia móvil "2", que se mueve
respecto a uno fijo "1". Si el movimiento no es una traslación pura,
existe un punto I, instantáneamente en reposo, tal que el movimiento de
los puntos de 2 se describe como una rotación en torno a I, esto es, si
P es un punto de 2, su velocidad respecto a 1 es
V21(P) = W21 x IP
siendo W21 la velocidad angular instantánea.
Esta fórmula proporciona un método sencillo de localizar I gráficamente.
Sean P y Q dos puntos de 2 con velocidades V21(P) y V21(Q) (que
supondremos no paralelas, para hacerlo más fácil), basta con considerar
las rectas que pasan por P y Q perpendiculares a estas velocidades. El
punto donde se cortan las dos rectas es el CIR.
Failed to load image: http://i28.photobucket.com/albums/c223/gonfer00/base1.gifOtra forma de deteminar el CIR es aplicando que su velocidad instantánea
es nula. Sea O' el origen de coordenadas del sistema 2, sea V21(O') su
velocidad y W21 la velocidad angular de 2 respecto a 1. La velocidad de
cualquier punto de 2 es
V21(P) = V21(O') + W21 x O'P
Imponiendo que V21(I) = 0 nos queda
0 = V21(O') + W21 x O'I
Multiplicando vectorialmente por W21
0 = W21 x V21(O') + W21 x (W21 x O'I) =
= W21 x V21(O') - |W21|^2 O'I
de donde
O'I = W21 x V21(O')/|W21|^2
Esto se puede hacer de forma más sencilla empleando números complejos,
pero no iremos por ahí.
2) Base y ruleta
El punto I no es un punto físico del sistema 2 ni del sistema 1, esto
es, ni está permanentemente en reposo en 1 ni en 2, sino que es un lugar
geométrico. En general, el CIR corresponde a un punto material diferente
en cada instante.
Se denomina "base" al lugar geométrico de los CIR, vistos desde el
sistema 1, y "ruleta" al lugar geométrico del CIR visto desde el sistema 2.
Esto es, nos imaginamos que el sólido 2 es una hoja de papel que se
mueve sobre otra hoja de papel fija, que es el sistema 1. Entre ellas
hay un papel de calca. Si en cada instante marcamos a bolígrafo la
posición del CIR, que quedará marcado en las dos hojas, cuando pase el
tiempo, obtendremos sendas curvas. La de la hoja 1 es la base y la de la
2 es la ruleta.
Antes de poner las ecuaciones, dos ejemplos:
3) La rueda que rueda
Failed to load image: http://i28.photobucket.com/albums/c223/gonfer00/base2.gifConsideremos una rueda circular que rueda sin deslizar sobre un suelo
horizontal. En este caso, el CIR no es otro que el punto de contacto de
la rueda con el suelo.
Cuando pasa el tiempo, el punto de contacto va recorriendo todos los
puntos del suelo, por lo que la base no es otra que la recta horizontal
del suelo.
Igualmente, todos los puntos del borde de la rueda entran en contacto,
tarde o temprano, con el suelo. Por ello la ruleta no es otra que la
propia rueda.
En este caso vemos de forma sencilla una propiedad general: la ruleta
rueda sobre la base. Si nos imaginamos un sólido con la forma de la
ruleta y una superficie con la forma de la base, el CIR sería el punto
de contacto entre ambos sólidos.
4) La escalera que cae
El segundo ejemplo es también sencillo, pero menos trivial.
Failed to load image: http://i28.photobucket.com/albums/c223/gonfer00/base3.gifSupongamos una escalera, o una barra, apoyada en el suelo y en una
pared. Esta escalera esta deslizando sobre ambas superficies, sin perder
el contacto con ellas.
Localizamos el CIR como indiqué antes. Consideremos P y Q los dos puntos
de contacto de la barra con la pared y el suelo respectivamente. Las
velocidades de estos dos puntos son, respectivamente, vertical y
horizontal. Trazando ambas perpendiculares encontramos el punto I.
Failed to load image: http://i28.photobucket.com/albums/c223/gonfer00/base4.gifPara identificar la base y la ruleta observamos que PQ y OI son las dos
diagonales del rectángulo OQIP.
Failed to load image: http://i28.photobucket.com/albums/c223/gonfer00/base5.gifDado que |PQ| permanece constante en el tiempo (es la longitud de la
barra) se deduce que OI también es constante. Por tanto, la base es una
curva formada por puntos a una distancia constante del origen O, esto
es, es una circunferencia (o un arco de circunferencia) de centro O y de
radio L.
Visto desde la barra, si M es el centro de la barra, y del rectángulo
OQIP, la distancia |MI| es la misma que la distancia |MP| y que |MQ|.
Por tanto, visto desde la barra I describe una circunferencia de centro
M y de radio L/2. Esta es la ruleta.
Failed to load image: http://i28.photobucket.com/albums/c223/gonfer00/base6.gif5) Ecuaciones de la base y la ruleta
Aunque en estos dos ejemplos, la base y la ruleta "se ven", no siempre
es así ni mucho menos. Sin embargo no es difícil obtener ecuaciones
paramétricas para la base y la ruleta.
Sea "theta(t)" el ángulo que forma el eje X2 con el eje X1 y
w(t) = d(theta)/dt
la velocidad angular instantánea con la que gira el sistema 2 respecto
al 1. Sea (X0(t),Y0(t)) la posición del origen O' del sistema 2 respecto
al sistema 1, y sea (U(t),V(t)) la velocidad de este punto.
Según dijimos antes la ecuación para I viene dada por
O'I = W21 x V21(O')/|W21|^2
Sustituyendo cada cosa
O'I = (XI - X0, YI - Y0)
|W21| = w
W21 x V21 = w(-V,U)
lo que nos da
XI(t) = X0 - V/w
YI(t) = Y0 + U/w
Estas son las ecuaciones paramétricas de la base. En ellas el tiempo t
es realmente un parámetro arbitrario ya que la base y la ruleta son
propiedades puramente geométricas, independientes de la celeridad con la
que se realiza el movimiento. De hecho, podemos poner lo todo en función
de theta observando que
V/w = (d(Y0)/dt)/(d(theta)/dt) = d(Y0)/d(theta)
lo que nos da
XI(theta) = X0(theta) - d(Y0)/d(theta)
YI(theta) = Y0(theta) + d(X0)/d(theta)
Para las ecuaciones de la ruleta simplemente hacemos un cambio de base
de los ejes X1,Y1 a los ejes X2, Y2. Este cambio de ejes es una rotación
en torno a O', de forma que
(X'I,Y'I) = O'I = ((XI-X0)cos(theta) + (YI - Y0)sen(theta),
-(XI-X0)sen(theta) + (YI - Y0)cos(theta))
y sustituyendo las ecuaciones de la base
X'I = -d(Y0)/d(theta) cos(theta) + d(X0)/d(theta)sen(theta)
Y'I = d(Y0)/d(theta) sen(theta) + d(X0)/d(theta)cos(theta)
estas son las paramétrica de la ruleta.
6) De vuelta a la escalera que cae
Como ejemplo de las paramétricas, volvamos al ejemplo de la escalera. Si
theta es el ángulo que forman X2 y X1, este es el ángulo que forma
también la escalaera con la pared. Por tanto la posición del punto Q,
que es también O' es
X0 = L sen(theta) Y0 = 0
y por tanto
XI = L sen(theta) - 0 = L sen(theta)
YI = 0 + d(L sen(theta))/d(theta) = L cos(theta)
estas son las paramétricas de una circunferencia de centro el origen y
radio L, como dijimos.
Para la ruleta, derivando y sustituyendo queda
X'I = L sen(theta)cos(theta)
Y'I = L cos^2(theta)
Para ver qué es esto, elevamos al cuadrado y sumamos
X'I^2 + Y'I^2 = L^2 cos^2(theta) = L Y'I
o, dicho de otra forma
X'I^2 + (Y'I - L/2)^2 = L^2/4
que es la ecuación de una circunferencia de radio L/2 y centro (0,L/2).
7) Applets interactivos.
Aunque no conozco una página específica de esto, es muy fácil trazar
bases y ruletas empleando software gráfico como el Geometer Sketchpad o
el Cabri, ya que todo se reduce a hallar perpendiculares y puntos de
intersección.
Espero que esta parrafada te sea útil.
--
Antonio